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Em resumo: os satélites de GPS não rastreiam ninguém. Cerca de 30 deles, a uns 20.200 km de altura e com relógios atômicos a bordo, transmitem onde estão e que horas são. O seu celular só escuta: o atraso de cada sinal vezes a velocidade da luz é uma distância, três distâncias se cruzam em um ponto, e um quarto satélite corrige o relógio do celular, bem menos preciso. Os relógios dos satélites adiantam por causa da relatividade, então são ajustados antes do lançamento. No fim, um smartphone acerta a posição com margem de cerca de 4,9 m a céu aberto.
Os satélites não rastreiam nada
Do FAQ do gps.gov: "GPS satellites themselves do not track anything on the ground. They are simply beacons, like lighthouses, broadcasting one-way reference signals." (os satélites de GPS em si não rastreiam nada no solo. São simplesmente balizas, como faróis, transmitindo sinais de referência unidirecionais).
Cerca de 30 satélites, a 20.200 km de altura
O gps.gov, sobre o segmento espacial: "the U.S. Space Force has been flying 31 operational GPS satellites for well over a decade" (a Força Espacial dos EUA mantém 31 satélites de GPS operacionais em voo há bem mais de uma década), e "GPS satellites fly in medium Earth orbit (MEO) at an altitude of approximately 20,200 km (12,550 miles). Each satellite circles the Earth twice a day." (os satélites de GPS voam em órbita terrestre média (MEO) a uma altitude de aproximadamente 20.200 km (12.550 milhas). Cada satélite dá duas voltas na Terra por dia).
Cada um leva "multiple atomic clocks that contribute very precise time data to the GPS signals" (vários relógios atômicos que fornecem dados de tempo muito precisos aos sinais de GPS), e os sinais "give the current GPS satellite position and time" (informam a posição e a hora atuais do satélite de GPS).
Atraso × velocidade da luz = distância
A ESA: "The signal emitted from each satellite is a microwave radio wave containing the time it was transmitted and the satellite's current orbital position." (o sinal emitido por cada satélite é uma onda de rádio de micro-ondas que contém o horário em que foi transmitido e a posição orbital atual do satélite). A 20.200 km de distância, um sinal leva cerca de 0,067 s para chegar (nossa conta: 20.200 km ÷ 299.792 km/s), e esse atraso vezes a velocidade da luz é a distância.
Três distâncias se cruzam em você, um quarto satélite corrige o relógio
De novo a ESA: "Three are used to 'trilateralise' (the three-dimensional equivalent of triangulation) the user's longitude, latitude and altitude and a fourth to determine the time offset between the (precise) satellite clock and the (less precise) clock embedded within the receiver." (três são usados para 'trilaterar' (o equivalente tridimensional da triangulação) a longitude, a latitude e a altitude do usuário, e um quarto para determinar a diferença de tempo entre o relógio (preciso) do satélite e o relógio (menos preciso) embutido no receptor).
O relógio importa: um milionésimo de segundo de erro dá cerca de 300 m (nossa conta: 299.792 km/s × 10⁻⁶ s).
A correção de Einstein
Em órbita, os relógios dos satélites adiantam cerca de 38 microssegundos por dia. R. Pogge (Universidade Estadual de Ohio): "by about 38 microseconds per day (45-7=38)!" (em cerca de 38 microssegundos por dia (45-7=38)!). N. Ashby (Living Reviews in Relativity, 2003) dá o desvio líquido como −4,4647 × 10⁻¹⁰: "the standard clock in orbit is beating too fast" (o relógio padrão em órbita está batendo rápido demais). Por isso os relógios são ajustados mais lentos antes do lançamento, para 10,22999999543 MHz em vez de 10,23 MHz.
Ashby na Physics Today (2002): "If these relativistic effects were not corrected for, satellite clock errors building up in just one day would cause navigational errors of more than 11 km, quickly rendering the system useless." (se esses efeitos relativísticos não fossem corrigidos, os erros dos relógios dos satélites acumulados em apenas um dia causariam erros de navegação de mais de 11 km, tornando o sistema inútil rapidamente).
Cerca de cinco metros
O gps.gov: "GPS-enabled smartphones are typically accurate to within a 4.9 m (16 ft.) radius under open sky… However, their accuracy worsens near buildings, bridges, and trees." (smartphones com GPS costumam ter precisão dentro de um raio de 4,9 m (16 pés) a céu aberto… No entanto, a precisão piora perto de prédios, pontes e árvores).
Conclusão
- O GPS é de mão única: os satélites transmitem, o seu celular escuta.
- Tempo é distância: os atrasos de quatro satélites fixam onde você está, e quando.
- Einstein importa: os relógios dos satélites são ajustados para a relatividade antes do lançamento.
Fontes
- gps.gov: FAQ, Space Segment, GPS and telling time, GPS accuracy
- ESA, How satellite navigation works
- N. Ashby, "Relativity and the Global Positioning System", Physics Today 55(5), maio de 2002; "Relativity in the Global Positioning System", Living Reviews in Relativity 6:1, 2003
- R. Pogge, "Real-World Relativity: The GPS Navigation System", Ohio State University
O vídeo é animado com código, e o roteiro foi escrito com ajuda de IA; cada citação acima foi conferida com a fonte, e os dois números marcados como "nossa conta" são nossos. Ilustrativo: os satélites, os pulsos de sinal e as esferas de distância (desenhadas como círculos). O vídeo é narrado em inglês. Feito com o Shotloop, meu app gratuito para Mac de explicativos feitos com código, corrigidos uma cena de cada vez.