一句話總結： GPS 衛星不追蹤任何人。大約 30 顆衛星在約 20,200 公里的高空運行，搭載原子鐘，不斷廣播自己在哪裡、現在幾點。你的手機只是在聽：每個訊號的延遲乘以光速就是一段距離，三段距離交於一點，第四顆衛星則用來校正手機那顆精度差得多的時鐘。由於相對論，衛星上的時鐘走得偏快，所以在發射前就已調整好。在開闊的天空下，智慧型手機的定位誤差大約在 4.9 公尺以內。
衛星什麼也不追蹤
gps.gov 的常見問題：「GPS satellites themselves do not track anything on the ground. They are simply beacons, like lighthouses, broadcasting one-way reference signals.」（GPS 衛星本身並不追蹤地面上的任何東西。它們只是信標，就像燈塔一樣，單向廣播參考訊號。）
大約 30 顆衛星，高 20,200 公里
gps.gov 介紹太空段時說：「the U.S. Space Force has been flying 31 operational GPS satellites for well over a decade」（十多年來，美國太空軍一直在運行 31 顆在役 GPS 衛星），以及「GPS satellites fly in medium Earth orbit (MEO) at an altitude of approximately 20,200 km (12,550 miles). Each satellite circles the Earth twice a day.」（GPS 衛星在中地球軌道（MEO）上運行，高度約 20,200 公里（12,550 英里）。每顆衛星每天繞地球兩圈。）
每顆衛星都搭載「multiple atomic clocks that contribute very precise time data to the GPS signals」（多具原子鐘，為 GPS 訊號提供非常精確的時間資料），而訊號「give the current GPS satellite position and time」（提供 GPS 衛星目前的位置和時間）。
延遲 × 光速 = 距離
ESA：「The signal emitted from each satellite is a microwave radio wave containing the time it was transmitted and the satellite's current orbital position.」（每顆衛星發出的訊號是一道微波無線電波，其中包含發射時間和衛星目前的軌道位置。）從 20,200 公里外發來的訊號大約要 0.067 秒才能抵達（我們自己算的：20,200 km ÷ 299,792 km/s），這段延遲乘以光速，就是距離。
三段距離交會於你，第四顆衛星校準時鐘
還是 ESA：「Three are used to 'trilateralise' (the three-dimensional equivalent of triangulation) the user's longitude, latitude and altitude and a fourth to determine the time offset between the (precise) satellite clock and the (less precise) clock embedded within the receiver.」（其中三顆用來對使用者的經度、緯度和高度進行「三邊測量」（三角測量在三維空間中的對應方法），第四顆則用來確定（精確的）衛星時鐘與接收器內建（精度較低的）時鐘之間的時間偏差。）
時鐘很關鍵：百萬分之一秒的誤差大約就是 300 公尺（我們自己算的：299,792 km/s × 10⁻⁶ s）。
愛因斯坦的修正
在軌道上，衛星的時鐘每天大約快 38 微秒。R. Pogge（俄亥俄州立大學）：「by about 38 microseconds per day (45-7=38)!」（每天大約快 38 微秒（45-7=38）！）N. Ashby（《Living Reviews in Relativity》，2003）給出的淨偏差是 −4.4647 × 10⁻¹⁰：「the standard clock in orbit is beating too fast」（在軌的標準時鐘走得太快了）。所以這些時鐘在發射前就被調慢，設為 10.22999999543 MHz，而不是 10.23 MHz。
Ashby 在《Physics Today》（2002）中寫道：「If these relativistic effects were not corrected for, satellite clock errors building up in just one day would cause navigational errors of more than 11 km, quickly rendering the system useless.」（如果不校正這些相對論效應，僅僅一天累積的衛星時鐘誤差就會造成超過 11 公里的導航誤差，系統很快就會變得毫無用處。）
大約五公尺
gps.gov：「GPS-enabled smartphones are typically accurate to within a 4.9 m (16 ft.) radius under open sky… However, their accuracy worsens near buildings, bridges, and trees.」（在開闊的天空下，支援 GPS 的智慧型手機通常能精確到半徑 4.9 公尺（16 英尺）以內……不過，在建築物、橋樑和樹木附近，精度會變差。）
結論
- GPS 是單向的：衛星廣播，手機接收。
- 時間就是距離：來自四顆衛星的延遲，定出你在哪裡，以及現在幾點。
- 愛因斯坦很重要：衛星的時鐘在發射前就針對相對論做了校準。
來源
- gps.gov：FAQ、Space Segment、GPS and telling time、GPS accuracy
- ESA（歐洲太空總署），How satellite navigation works
- N. Ashby，"Relativity and the Global Positioning System"，Physics Today 55(5)，2002 年 5 月；"Relativity in the Global Positioning System"，Living Reviews in Relativity 6:1，2003 年
- R. Pogge，"Real-World Relativity: The GPS Navigation System"，俄亥俄州立大學（Ohio State University）
影片以程式碼製作動畫，腳本在 AI 協助下撰寫；上面每段引文都對照出處查證過，標註「我們自己算的」的兩個數字是我們自己的計算。示意的部分：衛星、訊號脈衝和距離球面（畫成圓）。影片為英文旁白。影片用 Shotloop 製作：我做的免費 Mac 應用程式，用程式碼做科普短片，一個鏡頭一個鏡頭地修改。